第二章

2.1信息存储

1、数字的三种表示

无符号数：传统的二进制表示法，表示大于或等于零的数字 补码：表示有符号数，可为正可为负的数字 浮点数：实数的科学计数法的以二为基数的版本 整数运算和浮点数运算会有不同的数学属性。 原因：处理数字表示有限性的方式不同 整数表示：编码的数值范围相对较小，但精确  浮点数表示：编码的数值范围相对较大，但是近似的 计算机运算的漏洞多由于计算机算数运算的微秒细节引发的

2、进制转化

（1）x=2^n转化为十六进制

将x写成x=2^n的形式，令n=i+4j，x的十六进制表示为：开头为2^i的值，后面补j个0。

（2）十进制转化为十六进制

十进制数x反复除以16，得十六进制数

（3）十六进制转化为十进制

十六进制数x反复乘以16，得十进制数

3、字和字节顺序

字长：一个字长指明整数和指针数据的标称大小。字长决定最重要的系统参数就是虚拟地址空间的最大大小。对一个字长为w位的机器而言，虚拟地址的范围是0~2^w-1，程序最多访问2^w个字节。  对于跨越多字节的程序对象需建立两个规则:  这个对象的地址是什么，以及在存储器中如何排列这些字节。  小端法：高对高，低对低  大端法：从视觉上，是这次阅读的顺序，与小端法相反。 使字节顺序变得可见的三种方式： 不同类型的机器之间通过网络传送二进制数据时，网络应用程序的代码编写必须遵守已建立的关于字节顺序的规则；使用反汇编器，处理整数数据的字节序列的存储字节顺序问题；当编写规避正常的类型系统的程序时。

4、布尔代数

（1）位向量的运算：按位运算

（2）位向量的应用：表示有限集合

掩码表示的是设置为有效信号的集合。

（3）位级运算

|：或  &：与  ~：取反  ^:异或  确定一个位级表达式的结果的最好的方法就是：将十六进制的参数扩展成二进制表示并执行二进制运算，然后在转换为十六进制。 w 位级运算的常用算法：掩码运算。  掩码运算：掩码是一个位模式，表示从一个字中选出的位的集合。例如：位级运算x&0xFF生成一个有x的最低有效字节组成的值。表达式~0将生成一个全1的掩码，不管机器的字大小是多少。

（4）逻辑运算

逻辑运算符：||（或）、&&（与）、！（非）  逻辑运算认为所有非零的参数都表示TRUE，参数0表示FALSE。返回1或者0，分别表示结果为TRUE或FALSE。  逻辑运算和位级运算的区别是：  按位运算只有在特殊情况下，即参数被限制为0或者1时，才能与其对应的逻辑运算有相同的行为； 若第一个参数求值就能确定表达式的结果，那么逻辑运算符就不会对第二个参数求值。

（5）移位运算

左移k位：丢弃最高位的k位，右端补k个0  右移包括：逻辑右移、算数右移  逻辑右移：左端补k个0（常用于无符号数）  算数右移：左端补k个最高有效位的值（用于有符号数）

2.2整数表示

1、补码编码

补码形式是最常见的有符号数的计算机表示方式  将字的最高有效位解释为负权 B2T(W)函数为：B2T（x） = -x(w-1)2^(w-1)+∑xi2^i(求和从i=0到i=w-2)

2、有符号数和无符号数之间的转换

处理同样字长的有符号数和无符号数之间相互转换的一般规则：数值可能会改变，但是位模式不变。  c语言允许无符号数和有符号数之间的转换。转换的原则是底层的位表示不变。  当从无符号数转换为有符号数是，效果是应用函数U2T，从有符号数转化为无符号数时，应用函数T2U，其中w表示数据类型的位数。 负数和正数相等的情况：u=2147483648 =-2147483648  （当输出分别为无符号形式和有符号形式时）

3、扩展数的位表示

零扩展：将无符号数转换为更大的数在表示的开头添加0  符号扩展：将一个补码数字转换为一个更大的数据类型

4、截断数字

截断数字:不用额外的位来扩展一个数值，而是减少表示一个数字的位数。

5、使用无符号数的情况

（1）把字仅仅看做是位的集合，并没有任何数字意义时 （2）当实现模运算和多精度运算的数学包时，数字是由数的数组来表示的，无符号值也会非常有用。

2.3整数运算

1.无符号加法

无符号运算可以被视为一种模运算形式，无符号加法等同于计算和摸上2^w，可以通过简单的丢弃x+y的w+1位表示的最高位，来计算这个数值。  一个算数运算的溢出，是指完整的整数结果不能放到数据类型的字长限制中去。

2.补码加法

两个数的w位补码之和与无符号之和有完全相同的位级表示。大多数计算机用相同的机器指令来执行无符号或者有符号加法。  有符号加法的结果z=x+y可分为4种情况：  （1）-2^(w)≤z＜-2^(w-1)：两个负数相加得一个非负的结果。  （2）-2^(w-1)≤z＜0：结果正常，z为负数  （3）0≤z＜2^(w-1)：结果正常，z为正数 （4）2^(w-1)≤z＜2^(w)：两个正数相加得一个负数的结果。

3.补码的非

对于范围-2^(w-1)≤x＜-2^(w-1)内的x，补码的非运算如下： （1）x=-2^(w-1)：补码的非为-2^(w-1)； （2）x＞-2^(w-1):补码的非为-x。  求位级补码非的方法：  （1）对每一位求补，再对结果加1；（2）建立在将位向量分为两部分的基础之上的。

4.无符号乘法

两个数x、y相乘且x、y的位数为w，则结果的位数为2w。

5.补码乘法

同无符号乘法。 若为截断后的结果，则取结果的后w位作为计算结果。 注意：无符号运算和补码运算在“+”、“-”、“*”在位级上有相同的结果。

6.乘以常数

对于某个常数K的表达式x*K生成代码，编译器会将K的二进制表示表达为一组0或1的交替的序列： [(0…0)(1…1)(0…0)…(1…1)]  可以用以下两种形式来计算这些乘积的结果：  A：(x<<n)+(x<<n-1)+……+(x<<m)  B：(x<<n+1)-(x<<m)

7.除以2的幂

设x/K,令K=2^n, 当x为正数时，计算 x>>n;  当x为负数时，将x加上偏置量，即加上2^n-1(即K-1),计算** (x+偏置量)>>n**。

8.关于整数运算的最后思考

计算机执行的“整数”运算实际上是一种模运算形式；  表示数字的有限字长限制来了可能的值的取值范围，运算结果可能溢出； 补码表示提供了一种即能表示负数也能表示正数的灵活方法，同时使用了与执行无符号算术相同的位级实现；  c语言中的unsigned数据类型的使用也应当特别注意，比如，在书写整数常数和调用库函数的时候。

2.4浮点数

（1）二进制小数

将十进制小数转换为二进制小数  首先，将十进制小数写成分数的形式，将分数的分子部分，写成二进制的形式；将分数的分母部分写成2^n的形式，将分子的二进制形式，从右往左数，数n位添加小数点。 小数点左移：除以2  小数点右移：乘以2

（2）IEEE浮点数表示

表示形式为：V = (-1)^s * M * 2^E  符号：s决定这个数是负数(s = 1)还是正数(s = 0)，而对于数值0的符号位解释作为特殊情况处理。  尾数：M是一个二进制小数，它的范围是1 ~ 2-ε，或者是0 ~ 1-ε。  阶码：E的作用是对浮点数据加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）。  根据阶码的值，可分为一下三种情况：  情况一：规格化的值 （当阶码字段不全为0或

（3）浮点数的舍入

有四种情况分别是：向偶数舍入（默认）、向零舍入、向下舍入、向上舍入。

（4）浮点运算

浮点加法：不满足结合性、满足单调性  浮点乘法：不满足结合性、满足单调性，在加法上不满足分配性

 

全为1时） E = e-Bias Bias = 2^(k-1)-1  M = 1+f